MATRIKS LANJUTAN 3

PERSAMAAN SIMULTAN

 Persamaan simultan adalah kumpulan dari beberapa persamaan linier yang terdiri dari satu, dua, atau tiga variabel bebas.

Persamaan linier dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat tiap-tiap variabel sama dengan satu.
Diketahui sistem persamaan linear dua peubah sebagai berikut.

  \[ ax + by = c \]
\[ px + qy = r \]
Dua persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear dengan dua variabel, yaitu x dan y. Bentuk sistem di atas dalam matriks bisa dilihat pada persamaan di bawah.
  \[ \begin{bmatrix} a & b \\ p & q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix} \]
Berdasarkan sifat matriks invertibel, maka variabel x dan y dapat diketahui melalui cara berikut.
  \[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ p & q \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix} \]
  \[ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \frac{1}{aq - bp} \begin{bmatrix} q & -b \\ -q & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ r \end{bmatrix} \]
Atau juga bisa dengan cara seperti berikut:
  \[ x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{\left| \begin{matrix} c & b \\ r & q \end{matrix} \right| }{\left| \begin{matrix} a & b \\ p & q \end{matrix} \right| }\]
  \[ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{\left| \begin{matrix} a & c \\ p & r \end{matrix} \right| }{\left| \begin{matrix} a & b \\ p & q \end{matrix} \right| }\]

Contoh soal sistem persamaan linear dua variabel yang diselesaikan menggunakan matriks dapat dilihat pada pembahasan di bawah.
Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear:
  \[2x + y = 5 \]
  \[ x + y = 7 \]

  • Metode Invers Matriks

Invers matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear baik dua variabel maupun tiga variabel.

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:
ax + by = p …………… Pers. (1)
cx + dy = q …………… Pers. (2)
Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.
AX = B                                                                                          
Matriks A memuat koefisien-koefisien kedua persamaan. Matriks X memuat variabel x dan y. Sedangkan matriks B memuat konstanta kedua persamaan linear. Dengan demikian, bentuk matriks AX = B adalah sebagai berikut
[
a
b
]
[
x
]
=
[
p
]
c
d
y
q
Tujuan menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah untuk menentukan nilai x dan nilai y yang memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, bentuk matriks AX = B harus kita ubah menjadi bentuk invers seperti berikut.
AX = B
X = A-1B
A-1 merupakan invers matriks A. Dengan menggunakan rumus invers matriks di atas, maka bentuk matriks dari X = A-1B adalah sebagai berikut.
[
x
]
=
1
[
d
−b
]
[
p
]
y
ad – bc
−c
a
q

Contoh soal


















  • Metode Cramer

sebuah sistem persamaan linear dengan menggunakan metoda cramer. Jika AX = B  adalah sistem yang terdiri dari m persamaan linear dalam n variabel sehingga det (A) ≠ 0 , maka sistem  tersebut mempunyai pemecahan yang unik. Pemecahan ini adalah :

X1 = det (A1) / det (A)
X2 = det (A2) / det (A)
Xn = det (An) / det (A)

Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam kolom ke – j dari A dengan entri – entri dalam matriks koefisien B.

Contoh : gunakan aturan cramer untuk memecahkan SPL berikut :
-x1   +  x2   +  2x3  = -5
2x1  -   x2   +  x3    =  1
x1    +  x2     -   x3    =  5
jawab :
bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut adalah :

Dalam matrik A diperoleh det (A) dan det (Aj) dengan cara sarrus :

Det A = {(-1).(-1).(-1)+  1.1.1 + 2.2.1 } – { 1.(-1).2 + 1.1.(-1) + (-1).2.1}
  ={ (-1  + 1 + 4) – (-2 +  (-1) + (-2)}    = { 4 – (-5)}    ={ 4 + 5}      = 9
Det A1 =

 Det A1 = ( -5 + 5 + 2 ) – (-10  +  (-5)  +  (-1) ) = 2 + 16 = 18
Det A2=

 Det A2= (1 – 5 +20 ) – ( 2 + (-5) + 10 ) = 16 -7 = 9
Det A3=

 Det A3= ( 5 + 1 + (-10) – ( 5 + (-1) + 10 ) = -4 -14 = -18
Sehingga diperoleh :
X1= Det (A1 )/ Det (A)  = 18 /9 = 2
X2 = Det (A2 )/ Det (A) = 9 / 9 = 1
X3 = Det (A3 )/ Det (A) = -18 / 9 = -2
Jadi pemecahan untuk SPL  tersebut adalah :

 X1= 2  ,       X2=  1  ,         X3= -2





Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Baris dan Deret

Gambar
Dalam ilmu matematika, pelajaran mengenai barisan dan deret sudah dipelajari di bangku Sekolah Menengah Atas (SMA). Sehingga, materi ini sudah tidak asing lagi bagi seorang mahasiswa. Seperti yang diketahui bersama bahwa barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.Sedangkan deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Suatu barisan dan deret terbagi atas dua jenis yaitu : Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Geometri  Barisan  dan Deret Aritmatika Barisan Aritmatika Barisan Aritmetika adalah barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. Dalam barisan aritmatika, akan diadapatkan beberapa istilah. Istilah tersebut adalah suku, suku pertama, dan beda. Suku merupakan bilangan yang menyusun barisan aritmatika tersebut. Suku pertama merupakan angka atau bilangan yang pertama dari susunan barisan aritmatika tersebut. Sedangkan beda adalah selisih antara setiap suku dengan...
Baca selengkapnya

MATRIKS LANJUTAN

Gambar
Transformasi Elementer Transformasi Elementer pada baris dan kolom Matriks Ekivalen Rank Matriks 1.1 Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis H ij (A) untuk transformasi baris dan K ij (A) untuk transformasi kolom. Contoh :   K 13 (A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3. 2.1  Memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h ¹ 0, ditulis H i (h) (A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k ¹ 0, ditulis K i (k) (A). Contoh : 3.1  Menambah kolom ke-i dengan k kali kolom ke-j, ditulis K ij (k) (A) dan menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis H ij (h) (A). Contoh : 4.1 Menambah baris ke-i dengan k kali baris ke-j, ditulis K ij (k) (A). Contoh: 1.2 Matriks Ekivalen Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat di...
Baca selengkapnya

Perihal Sebuah Misi

Gambar
Misi adalah tujuan utama, kesimpulannya adalah bahwa misi berhubungan dengan suatu proses atau tahapan yang dapat dilalui oleh seseorang dengan tujuan bisa mencapai visi tersebut. Di samping itu, misi dapat diartikan sebagai suatu deskripsi atau langkah apa yang dapat ditempuh. Misi sering kita sebut dengan istilah cara-cara untuk mencapai visi. Nah dalam misi ini pasti seseorang memiliki cara tersendiri dalam menggapai visinya tersebut. Untuk menggapai cita-cita diri sendiri tentunya banyak serangkaian kata juga kerja keras besar , tentunya dengan pengorbanan keringat fikiran dan tubuh yang sehat. Dengan ini saya akan menuliskan rangkain misi di dalam hidup saya. Sebelumnya saya ingin memberitahu bahwa visi saya adalah ingin membantu setiap orang yang sedang mengalami kesulitan tentang kesehatannya, terutama masalah berat badannya. Saya akan menggunakan bakat saya untuk memecahkan masalah terkait diet juga penambahan BB dan dapat menjadi pribadi yang lebih percaya diri. Saya akan ...
Baca selengkapnya