Baris dan Deret

Dalam ilmu matematika, pelajaran mengenai barisan dan deret sudah dipelajari di bangku Sekolah Menengah Atas (SMA). Sehingga, materi ini sudah tidak asing lagi bagi seorang mahasiswa. Seperti yang diketahui bersama bahwa barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.Sedangkan deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan.

Suatu barisan dan deret terbagi atas dua jenis yaitu :

1. Barisan dan Deret Aritmatika
2. Barisan dan Deret Geometri

 Barisan  dan Deret Aritmatika

• Barisan Aritmatika

Barisan Aritmetika adalah barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. Dalam barisan aritmatika, akan diadapatkan beberapa istilah. Istilah tersebut adalah suku, suku pertama, dan beda. Suku merupakan bilangan yang menyusun barisan aritmatika tersebut. Suku pertama merupakan angka atau bilangan yang pertama dari susunan barisan aritmatika tersebut. Sedangkan beda adalah selisih antara setiap suku dengan suku pertama, dimana nilai beda bernilai tetap seperti pengertian diatas. 

Contoh :

              3,6,9,12,15,..........dst.

              U₁, U₂, U₃, U₄, U₅, ...dst

Sehingga, dari bentuk umum barisan aritmatika di atas dapat di tentukan atau dituliskan sebagai berikut. Rumus ini di tuliskan, dengan tujuan untuk memudahkan dalam penentuan suku-suku yang skala besar. Misal, kita akan mencari suku ke 1000. Suatu hal yang tidak mungkin kalau kita akan menyusun suatu barisan aritmatika sampai 1000 kali. Oleh karena itu, dengan adanya rumus ini, dapat memudahkan kita untuk menentukannya.

 U_n = a+ (n-1)b

Keterangan :

                          Un= suku ke-n

                           a  = suku pertama

                           b  = beda.

Untuk lebih memahami pernyataan diatas, marilah menyimak contoh soal berikut. 

Contoh: Tentukan suku ke-10 dari barisan aritmetika 2,5,8,11,.....!

            Solusi :

                                    Dik :        = 2

                                                    = 3

                                    Dit :         = ....?

karena U_n = a+ (n-1)b maka,

     U₁₀ = 2 + (10-1)3

         = 2 + (9)3

         = 2+ 27 + 30 

• Deret Aritmatika

Deret aritmetika adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan aritmetika. Sama halnya dengan barisan aritmatika, dalam deret aritmatika juga ini dikenal juga istilah suku, beda dan suku pertama. Hanya saja dalam hal pengertian memiliki perbedaan. Dalam deret aritmatika, setiap suku pertama akan tetap, suku kedua akan ditambah dengan beda setiap suku, kemudian suku ketiga yaitu suku pertama akan ditambah dengan dua kali suku pertama, dan begitu seterusnya dengan setiap suku akan mengalami pertambahan dengan nilai beda, dimana nilai beda juga akan bertambah di setiap suku. Sehingga dapat dikatakan bahwa, setiap penaikan suku, maka nilai beda juga akan bertambah dan nilai setiap suku juga bertmabah. Untuk lebih memahami pernyataan di atas, maka dapat dilihat dan dipahami bentuk umum yang akan disajikan sebagai berikut.

  Contoh :

Diketahui nilai dari suku ke-16 pada suatu deret arimatika adalah 34 dengan  beda nya adalah 3, maka  hitnglah U1 nya?

Penyelesaiannya :

Diketahui :

  U16 = 34

  b = 3

  n = 16

Ditanya : Nilai U1 ?

Jawaban :

Un = a + (n-1) b

U16 = a + (16-1) 3

34 = a + (15).3

34 = a + 30

a = 34 – 30

a = 4

Barisan dan Deret Geometri

• Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap. Dalam barisan dan deret geometri juga dikenal istilah suku dan suku pertama. Hanya saja, yang menjadi pembeda antara satu suku dengan suku yang lain adalah kelipatan setiap suku tersebut atau biasa disebut dengan rasio. Untuk lebih memahami tentang barisan geometri, simaklah contoh berikut.

Contoh :

                                                                4,8,16,32,63,.....dst

Sama halnya dengan barisan aritmatika di atas untuk setiap suku sama susunan nya. Yakni U1, U2,U3, dan seterusnya. Untuk mencari suku-suku pada barisan geometri, dapat digunakan persamaan berikut.

U_n = ar ^n-1

Untuk lebih memahami peenggunaan persamaan tersebut, maka simaklah contoh soal berikut.

Contoh: 

Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2,…. tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

= r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 (rasionya)

a = 1/8

Jawab :

U_n = ar ^n-1

Un = 1/8 . 2 (10 – 1) = 1/8 . 29 = 2 – 3 . 29 = 26 = 64

Jadi, suku Un yang ke 10 tersebut adalah = 64

•  Deret Geometri

Deret geometri adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan geometri. Jika barisan geometrinya memiliki rasio antara -1 dan 1 maka disebut deret geometri tak terhingga..            Contoh :

4+8+16+32+63+....dst

Dalam menentukan jumlah suku dari deret geometri ini, memiliki dua persamaan denga perbedaan terletak pada nilai rasionya. Jika rasionya memiliki nilai di atas satu dan nilai rasionya dibawah satu, maka penggunaan persamaannya berbeda. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.

Contoh: 

Tentukan banyak suku dari deret -3+6+(-12)…+96! 

Penyelesaian :

U1 = -3

Un = 96

r = 6/-3 = -2

Un = U1 × rn-1

 96  = -3 × (-2)n-1

(-2)n-1 = 96 : (-3)

(-2)n-1 = -32

(-2)n-1 = (-2)5

      n-1 = 5

        n  = 6

Jadi, banyak  suku pada deret tersebut = 6

Kesimpulan

• Barisan bilangan adalah suatu urutan bilangan dengan aturan tertentu yang masing-masing bilangan dalam urutan tersebut disebut suku dan setiap suku digabungkan dengan tanda koma ( , ). Bentuk umum barisan bilangan U1, U2, U3, U4, ..., Un
• Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan, bentuk umum deret yaitu U1 + U2 + U3 + U4 + ... + Un
• Baris aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Rumus suku ke-n baris aritmetika Un = a + (n – 1)
• Deret aritmatika memiliki rumus jumlah suku pertama Sn = n {2a + (n – 1)b}