Elemen atau anggota (bahasa Inggris: member)
dari suatu himpunan dalam matematika adalah objek-objek matematika tertentu
yang membentuk himpunan itu.
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda
tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide
yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting
dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai himpunan
sangatlah berguna.
Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845
– 1918), seorang ahli matematika Jerman. . Ia menyatakan bahwa himpunan adalah
kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun
kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan
sifat/karakter atau Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek
yang didefinisikan dengan jelas. Anggota atau elemen adalah benda-benda atau
objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan.
Contoh:
Himpunan yang merupakan himpunan:
- 1. Himpunan anak yang berusia 12 tahun
2. Himpunan bilangan asli genap
3. Himpunan pulau-pulau di Indonesia
Himpunan yang bukan merupakan
himpunan:
1. Himpunan anak-anak malas
2. Himpunan wanita-wanita cantik
3. Himpunan lukisan indah
Ada empat cara untuk menyatakan suatu penulisan himpunan,
yaitu:
1) Dengan
menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda
kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Cara ini disebut juga cara Tabulasi. Contoh:
A = {a, i, u, e, o}
B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
2) Menyebutkan
syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi. Contoh:
Ambil bilangan asli kurang dari 5
A = bilangan asli kurang dari 5
3) Notasi
Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role)
dari anggotanya. Contoh Soal :
Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap
anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :
A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Penyelesaian :
A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Dengan menulis tiap-tiap anggotanya
A = {2, 3, 4, 5}
Dengan menulis sifat-sifatnya
A = {x | 1 < x < 6, x Asli}
4) Himpunan juga
dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn).
Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh
seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta
digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam
segiempat tersebut.
·
Keanggotaan Himpunan
Nama suatu himpunan biasanya menggunakan huruf kapital
seperti A, B, C, dan X. Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan
dengan huruf kecil seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah himpunan semua
huruf hidup dalam alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk dalam himpunan H
adalah a, i, u, e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam suatu himpunan disebut
sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk menyatakan anggota suatu
himpunan adalah “” sedangkan notasi untuk bukan anggota adalah “”. Dengan
demikian a H, iH, u H, e H, dan o H sedangkan b H, c H dan d H.
Istilah anggota yang digunakan di atas dapat diganti dengan istilah elemen atau
unsur.
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan
adalah:
SIMBOL
|
ARTI
|
Atau
|
Himpunan kosong
|
Operasi gabungan dua himpunan
|
|
Operasi irisan dua himpunan
|
|
, , ,
|
Subhimpunan, subhimpunan sejati, superhimpunan, superhimpunan sejati
|
Komplemen
|
Macam-Macam Himpunan
1) Himpunan
Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan
himpunan bagian (subset)
dari himpunan B ditulis A ⊂
B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota
dari B. Syarat :
A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian
dari B
A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan
bagian dari B
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal A = {
1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka B ⊂
A
Sebab setiap elemen
dalam B merupakan elemen
dalam A, tetapi tidak sebaliknya.
Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus
mempunyai unsur himpunan A juga
merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.
2) Himpunan
Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur
anggota yang sama sama sekali.
Syarat :
Himpunan kosong = A atau { }
Himpunan kosong adalah tunggal
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap
himpunan
Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan
{ 0 }.
Sebab : { 0 } ≠ { }
Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah
himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong
dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).
3) Himpunan
Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S”
(Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau
kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.
4) Himpunan Sama
(Equal)
Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota
himpunan B, begitu pula sebaliknya.di notasikan dengan A=B
Syarat :
Dua buah himpunan
anggotanya harus sama.
Contoh :
A ={ c,d,e} B={
c,d,e } Maka A = B
Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua
buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka
himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.
5) Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya
tidak ada yang sama.
Contoh
C = {1, 3, 5, 7} dan D
= {2, 4, 6} Maka himpunan C dan himpunan
D saling lepas.
Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling
lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama
6) Himpunan
Komplemen (Complement set)
Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC .
Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂
U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan
notasi pembentuk himpunan ditulis :
AC = {x│x Є U, x Є A}
7) Himpunan
Ekuivalen (Equal Set)
Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama
banyak dengan himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A)
A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan
himpunan B,
Contoh :
A = { w,x,y,z }→n (A) = 4
B = { r,s,t,u } →n
(B) = 4
Maka n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal
dari himpunan tersebut, bila himpunan A
beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.
v Operasi
pada Himpunan
a) Gabungan
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang
setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. Dinotasikan A
B
Notasi : A B = {x | x Є A atau x Є B}
b) Irisan
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan
yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan
B.
Notasi : A B = {x | x Є
A dan x Є B}
c) Komplemen
Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah
himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A. Dinotasikan
Ac
Notasi : Ac = {x | x Є S dan
x Є A} atau
d) Selisih
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya
merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A
dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A. Dinotasikan A-B
Notasi : A – B = {x | x Є A dan x Є B}
e) Hasil Kali
Kartesius ( cartesion Product )
Hasil kali kartesius himpunan A dan B, dinotasikan A x B,
adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A
dan b anggota B
Secara matematis dituliskan :
A x B = {(a,b)| a Є A dan b Є B}.
Bilangan adalah kumpulan angka yang menempati
urutan dari sebelah kanan sebagai nilai satuan, puluhan, ratusan, ribuan dan
seterusnya.
Simbol dan lambang yang dipakai untuk mewakili suatu
bilangan disebut dengan angka atau lambang bilangan. Didalam matematika, konsep
bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas meliputi bilangan nol,
bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, serta bilangan
kompleks.
Macam-macam Bilangan
1. Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah bilangan yang dimulai dari angka 0 dan
selalu bertambah 1 dengan bilangan setelahnya.
contoh : 0, 1, 2, 3, 4 dan seterusnya.
2. Bilangan Asli
Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka 1 dan
bertambah 1.
contoh : 1, 2, 3, 4, 5 dan seterusnya.
3. Pecahan Biasa
Pecahan biasa adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam
a/b, dengan a dan b merupakan bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a disebut
dengan pembilang sedangkan bilangan b disebut dengan penyebut.
contoh : 7/3, 1/3, 5/66
4. Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah himpunan bilangan bulat negatif,
bilangan nol dan bilangan bulat positif.
contoh : ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....
5. Bilangan Prima
Bilangan prima adalah seluruh bilangan asli yang hanya
mempunyai faktor pembagi satu dan bilangan itu sendiri atau bilangan yang hanya
dapat dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri.
contoh : 2, 3, 5, 7, 11,....
6. Bilangan Komposit
Bilangan komposit adalah seluruh bilangan asli kecuali 1 dan
tidak termasuk dalam bilangan prima.
contoh : 4, 6, 8, 9, 10,.....
7. Bilangan Rasional.
Bilangan rasional adalah semua bilangan yang dinyatakan
dalam bentuk a/b, dengan a dan b merupakan anggota bilangan bulat serta b ≠ 0.
8. Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b merupakan anggota bilangan bulat
serta b ≠ 0. merupakan kebalikan bilangan rasional.
9. Bilangan Riil
Bilangan riil adalah merupakan gabungan dari bilangan
rasional dengan bilangan irasional.
10. Bilangan Desimal
Bilangan desimal adalah bilangan yang mempunyai bentuk ciri
ciri antar bilangan dipisahkan dengan tanda koma sebanyak satu.
11. Bilangan Pangkat
Bilangan pangkat adalah bilangan yang dihasilkan dari
mengalikan sebuah bilangan beberapa kali.
12. Bilangan Imajiner
Bilangan Imajiner atau yang dikenal dengan bilangan khayal
adalah bilangan yang memiliki sifat i2 =
−1 . Dengan kata lain, bilangan tersebut memiliki akar negatif. Contoh : I = {
i, 4i, 5i, ….. }
13 . Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks ialah bilangan yang dinotasikan oleh a+bi
, dimana a dan b ialah bilangan riil, dan i ialah suatu bilangan imajiner
dimana i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan
kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Bila dalam satu bilangan
kompleks, nilai b ialah 0, jadi bilangan kompleks itu menjadi sama juga dengan
bilangan real a.
Untuk contoh, 3 + 2i merupakan bilangan kompleks dengan
bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.
14. Bilangan Genap
Bilangan Genap adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk 2n dan bilangan itu habis dibagi dengan bilangan 2.
Contoh: {2, 4, 6, 8, 10, 12, ….}
15. Bilangan Ganjil
Bilangan Ganjil adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam
bentuk 2n – 1 dan tidak habis dibagi dengan bilangan 2.
Contoh: {-3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … }
16. Bilangan Nol
Bilangan 0 adalah satu angka kosong (0) untuk mewakili angka
di angka. Peranan terpenting angka 0 ialah menjadi identitas untuk bilangan
real, bulat, dan aljabar yang lain.
17. Bilangan Negatif
Bilangan negatif ialah suatu bilangan yang mempunyai nilai
minus (-) atau negatif.
Contoh: { dan seterusnya -5, -4, -3, -2, -1 }
Demikianlah sekelumit uraian mengenai pengertian bilangan dan macam macam bilangan, Semoga bermanfaat bagi pembaca semua.
Komentar
Posting Komentar