Turunan Fungsi

Turunan Fungsi

  • Pengertian
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi menjadi yang mempunyai nilai tidak beraturan.
Limit ini disebut turunan atau diferensial dari f(x) pada x = a. Jika f(x) adalah suatu fungsi yang kontinu pada selang - berlaku = (turunan pertama dari ). 
Jika nilai limitnya ada, fungsi dikatakan diferensiabel di , dan disebut fungsi turunan dari . Turunan dari sering kali ditulis dengan . Notasi dari juga dapat ditulis: .
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi yang tak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu seharusnya disebut “Persamaan Turunan”, namun istilah “persamaan diferensial” (aequatio differentialis) yang diperkenalkan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pada tahun 1676 sudah umum digunakan. Sebagai contoh, persamaan diferensial dapat ditulis dalam bentuk ;

  • Rumus Dasar Turunan Fungsi
Aturan-aturan dalam turunan fungsi ialah:

  1. f(x), menjadi f'(x) = 0
  1. Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
  1. Aturan pangkat : apabila f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1
  1. Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

  • Penggunaan Turunan
Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal Satu Kurva
Gradien Garis disimbolkan dengan mm dimana :
· gradien pada persamaan garis y = mx + cy = mx + c adalah m
· gradien pada persamaan garis ax + by = cax + by = c adalah m = −abm = −ab
· gradien jika diketahui dua titik (x1,y1)(x1,y1) dan (x2,y2)(x2,y2) adalah m = y2 − y1x2 − x1m = y2 − y1x2 − x1
  • Gradien dua garis lurus :
· yang saling sejajar maka m1= m2 m1 = m2
· yang saling tegak lurus maka m1 m2 =− 1. m1 m2 =−1
  • Persamaan Garis Lurus :
· Jika diketahui satu titik (x1,y1)(x1,y1) dan gradien m, maka persamaan garisnya : y−y1 =m y− y1 = m(x−x1)
· Jika diketahui dua titik (x1,y1)(x1,y1) dan (x2,y2)(x2,y2) maka persamaan garisnya :
· Perhatikan Gambar Grafik fungsi y = f(x)Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = f(x) di titik A(a,f(a)) adalah
Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1,y1)(x1,y1) dengan gradien m adalah y− y1 = m(x−x1) sehingga Persamaan Garis Singgung di titik (a,f(a))(a,f(a)) pada kurva adalah y − f (a) = f′(a)(x−a)
  • Maksimum Dan Minimun
Andaikan fungsi f dengan domain S, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, yaitu
1. Menentukan apakah f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S.
2. Anggap bahwa nilai itu ada.
3. Menentukan nilai maksimum dan minimum.

Adapun definisi formal untuk menentukan nilai maksimum dan minimum adalah sebagai berikut :
Definisi : Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c, kita katakan bahwa :
i. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ³ f(x) untuk semua x di S;
ii. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) £ f(x) untuk semua x di S;
iii. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Akan tetapi, tidak semua fungsi bisa mencapai nilai maksimum dan nilai minimum, akan tetapi f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup sebagaimana teorema berikut :
Teorema A : (Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum. Titik-titik kunci dari teori maksimum dan minimum terdiri dari tiga jenis titik, yaitu titik ujung, titik stasioner, dan titik singular. Kemudian yang disebut titik kritis fungsi yaitu sebarang titik dalam daerah asal fungsi yang termasuk salah satu dari tiga tipe titik kunci di atas.

Teorema B (Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :
i. titik ujung dari I.;
ii. titik stasioner dari f(f’(c) = 0);
iii. titik singular dari f(f’(c) tidak ada).
max-n-min

Jadi dapat disimpulkan cara sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I, yaitu :
1. Carilah titik-titik kritis dari f pada I.
2. Hitunglah f pada setiap titik kritis. Yang terbesar adalah nilai maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh Soal
A. Turunan Fungsi Aljabar

  • Rumus-Rumus Turunan Fungsi Al Jabar
1. Rumus Turunan Fungsi Pangkat
Turunan Fungsi berbentuk pangkat, turunannya dapat menggunakan rumus
 f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} sebagai berikut:
f'(x) = \lim \limits_{h \to 0}\frac{(x+h)^n - (x)^n}{h}
= \lim \limits_{h \to 0}\frac{\sum^n_{i=0}C^n_ix^{n-i}h^i-x^n}{h}
= \lim_{h \to 0}\frac{C^n_0x^n+C^n_1x^{n-1}h+C^n_2x^{n-2}h^2+\cdots+C^n_nh^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{x^n+nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n-x^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{nx^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h^2+\cdots+h^n}{h}
= \lim \limits_{h\to0}(nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})
= nx^{n-1}+0+0+\cdots+0=nx^{n-1}
2. Rumus Turunan Hasil Kali Fungsi
Rumusan Fungsi f(x) turunan yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), adalah:
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}
\lim \limits_{h\to0}=\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h}
=\lim\limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)v(x+h)-u(x+h)v(x)]+[u(x+h)v(x)-u(x)v(x)]}{h}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)[v(x+h)-v(x)]}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h}
= \lim \limits_{h\to0}u(x+h) \cdot \lim \limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim_{h\to0}v(x)
= u(x+0) \cdot v'(x)+u'(x) \cdot v(x)
u'(x).v(x)+u(x).v'(x)\overset{atau}{\rightarrow}u'.v+u.v'
Maka, rumus turunan fungsinya ialah:
f'(x)=u'v+uv'
3. Rumus Turunan Fungsi Pembagian
Rumus turunan fungsi pembagian dapat di tentukan dengan menggunakan rumus:
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\overset{menjadi}{\rightarrow}\lim \limits_{h\to0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h}
Sehingga,
f'(x) = \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)}
=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)v(x)-u(x)v(x)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x)}{h.v(x+h)v(x)}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h.v(x+h)v(x)}
= \lim \limits_{h\to0}\frac{[u(x+h)-u(x)]v(x)}{h \cdot v(x+h)v(x)} - \lim \limits_{h\to0}\frac{u(x)[v(x+h)-v(x)]}{h \cdot v(x+h)v(x)}

=\lim \limits_{h\to0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x)}{v(x+h)v(x)}- \lim\limits_{h\to0}\frac{u(x)}{v(x+h)v(x)}.\lim\limits_{h\to0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}
= u'(x).\frac{v(x)}{v(x+0)v(x)}-\frac{u(x)}{v(x+0)v(x)} \cdot v'(x)
=\frac{u'(x)v(x)}{v(x)v(x)}-\frac{u(x)v'(x)}{v(x)v(x)} \rightarrow\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(u(x))^2} \rightarrow \frac{u'v-uv'}{v^2}
Maka, rumus turunan fungsinya adalah
f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}
4. Rumus Turunan Pangkat Dari Fungsi 

f(x)=(u(x))^n

Perlu diingat, apabila f(x) = x^n, maka:
f'(x)=\frac{df(x)}{dx}= \frac{dx^n}{dx} = nx^n-1
Karna f(x) = (u(x))^n=u^n, maka:
f'(x) = \frac{df(x)}{dx} = \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}
Atau,
f'(x) = \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} = nu^{n-1} \cdot u'
Maka, rumus turunan fungsinya ialah:
f'(x) = nu^(n-1) \cdot u'
Contoh Soal













B. Turunan Fungsi Trigonometri
  • Rumus-rumus Trigonometeri
Berdasarkan definisi turunan, maka dapat diperoleh rumus-rumus turunan trigonometri yakni sebagai berikut: (dengan u dan v masing-masing fungsi dari x), yakni:
  1. y = \sin x \rightarrow y' = \cos x
  2. y = \cos x \rightarrow y' = - \sin x
  3. y = \tan x \rightarrow y' = \sec^2 x
  4. y = \cot x \rightarrow y' = - \csc^2 x
  5. y = \sec x \rightarrow y'
  6. y = \csc x \rightarrow - \csc \times \cot x
  7. y = \sin^n x y' = n \sin^{n-1} \times \cos x
  8. y = \cos^nx \rightarrow y' = -n \cos^{n-1} \times \sin x
  9. y = \sin u \rightarrow y' = u' \cos u
  10. y = \cos u \rightarrow y' = - u' \sin u
  11. y = \tan u \rightarrow y' = u' \sec^2 u
  12. y = \cot u \rightarrow y' =-u' \csc^2u
  13. y = \sec u \rightarrow y' = u' \sec u \tan u
  14. y = \csc u \rightarrow y' = -u' \csc u \cot u
  15. y = \sin^nu \rightarrow y' = n.u' \sin^{n-1} \cos u
  16. y = \cos ^nu \rightarrow y'= -n \cdot u' cos^{n-1}u \cdot \sin u
   Contoh soal


Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Baris dan Deret

Gambar
Dalam ilmu matematika, pelajaran mengenai barisan dan deret sudah dipelajari di bangku Sekolah Menengah Atas (SMA). Sehingga, materi ini sudah tidak asing lagi bagi seorang mahasiswa. Seperti yang diketahui bersama bahwa barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.Sedangkan deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Suatu barisan dan deret terbagi atas dua jenis yaitu : Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Geometri  Barisan  dan Deret Aritmatika Barisan Aritmatika Barisan Aritmetika adalah barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. Dalam barisan aritmatika, akan diadapatkan beberapa istilah. Istilah tersebut adalah suku, suku pertama, dan beda. Suku merupakan bilangan yang menyusun barisan aritmatika tersebut. Suku pertama merupakan angka atau bilangan yang pertama dari susunan barisan aritmatika tersebut. Sedangkan beda adalah selisih antara setiap suku dengan...
Baca selengkapnya

MATRIKS LANJUTAN

Gambar
Transformasi Elementer Transformasi Elementer pada baris dan kolom Matriks Ekivalen Rank Matriks 1.1 Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis H ij (A) untuk transformasi baris dan K ij (A) untuk transformasi kolom. Contoh :   K 13 (A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3. 2.1  Memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h ¹ 0, ditulis H i (h) (A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar k ¹ 0, ditulis K i (k) (A). Contoh : 3.1  Menambah kolom ke-i dengan k kali kolom ke-j, ditulis K ij (k) (A) dan menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j, ditulis H ij (h) (A). Contoh : 4.1 Menambah baris ke-i dengan k kali baris ke-j, ditulis K ij (k) (A). Contoh: 1.2 Matriks Ekivalen Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat di...
Baca selengkapnya

Perihal Sebuah Misi

Gambar
Misi adalah tujuan utama, kesimpulannya adalah bahwa misi berhubungan dengan suatu proses atau tahapan yang dapat dilalui oleh seseorang dengan tujuan bisa mencapai visi tersebut. Di samping itu, misi dapat diartikan sebagai suatu deskripsi atau langkah apa yang dapat ditempuh. Misi sering kita sebut dengan istilah cara-cara untuk mencapai visi. Nah dalam misi ini pasti seseorang memiliki cara tersendiri dalam menggapai visinya tersebut. Untuk menggapai cita-cita diri sendiri tentunya banyak serangkaian kata juga kerja keras besar , tentunya dengan pengorbanan keringat fikiran dan tubuh yang sehat. Dengan ini saya akan menuliskan rangkain misi di dalam hidup saya. Sebelumnya saya ingin memberitahu bahwa visi saya adalah ingin membantu setiap orang yang sedang mengalami kesulitan tentang kesehatannya, terutama masalah berat badannya. Saya akan menggunakan bakat saya untuk memecahkan masalah terkait diet juga penambahan BB dan dapat menjadi pribadi yang lebih percaya diri. Saya akan ...
Baca selengkapnya