Aplikasi Turunan

APLIKASI TURUNAN

Aplikasi turunan merupakan suatu konsep matematika pengukuran atas bagaimana suatu fungsi berubah seiring dengan perubahan nilai input. Atau secara umum turunan menunjukkan tentang bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lain.

Turunan Persamaan Garis Singgung Kurva

Gradien Garis disimbolkan dengan mm dimana :

• gradien pada persamaan garis y=mx+cy=mx+c adalah mm
• gradien pada persamaan garis ax+by=cax+by=c adalah m=−abm=−ab
• gradien jika diketahui dua titik (x1,y1)(x1,y1) dan (x2,y2)(x2,y2) adalah m=y2−y1x2−x1m=y2−y1x2−x1

Gradien dua garis lurus :

• yang saling sejajar maka m1=m2m1=m2
• yang saling tegak lurus maka m1.m2=−1m1.m2=−1

Persamaan Garis Lurus :

• Jika diketahui satu titik (x1,y1)(x1,y1) dan gradien mm, maka persamaan garisnya : y−y1=m(x−x1)y−y1=m(x−x1)
• Jika diketahui dua titik (x1,y1)(x1,y1) dan (x2,y2)(x2,y2) maka persamaan garisnya : y−y1y2−y1=x−x1x2−x1y−y1y2−y1=x−x1x2−x1

Nah materi dasarnya di atas jangan sampai terlupa yah, sekarang kita masuk materi yang sesungguhnya…hehehe…

Perhatikan Gambar Grafik fungsi y=f(x)y=f(x)

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y=f(x)y=f(x) di titik A(a,f(a))A(a,f(a)) adalah

m=f′(a)=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δxm=f′(a)=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1,y1)(x1,y1) dengan gradien mm adalah y−y1=m(x−x1)y−y1=m(x−x1) , sehingga

Persamaan Garis Singgung di titik (a,f(a))(a,f(a)) pada kurva adalah

y−f(a)=f′(a)(x−a)y−f(a)=f′(a)(x−a)

contoh soal

Maksimisasi dan Minimisasi

Andaikan fungsi f dengan domain S, untuk menentukan nilai maksimum dan minimum, yaitu :

1. Menentukan apakah f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S.
2. Anggap bahwa nilai itu ada.
3. Menentukan nilai maksimum dan minimum.

Adapun definisi formal untuk menentukan nilai maksimum dan minimum adalah sebagai berikut :

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c, kita katakana bahwa :

• f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ³ f(x) untuk semua x di S;
• f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) £ f(x) untuk semua x di S;
• f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Akan tetapi, tidak semua fungsi bisa mencapai nilai maksimum dan nilai minimum, akan tetapi f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tertutup sebagaimana teorema berikut :

• Teorema A :

(Teorema Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.

Titik-titik kunci dari teori maksimum dan minimum terdiri dari tiga jenis titik, yaitu titik ujung, titik stasioner, dan titik singular. Kemudian yang disebut titik kritis fungsi yaitu sebarang titik dalam daerah asal fungsi yang termasuk salah satu dari tiga tipe titik kunci di atas. Seperti yang diterangkan dalam Teorema B berikut :

• Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu :

1. titik ujung dari I.;
2. titik stasioner dari f(f’(c) = 0);
3. titik singular dari f(f’(c) tidak ada).

max-n-min

Jadi dapat disimpulkan cara sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I, yaitu :

Langkah 1 Carilah titik-titik kritis dari f pada I.

Langkah 2 Hitunglah f pada setiap titik kritis. 

Yang terbesar adalah nilai maksimum; yang terkecil adalah nilai minimum.

contoh soal